Trong số các môn thi vào lớp 10, Toán là môn chiếm tỷ trọng lớn và có tính phân loại cao. Vì vậy, việc ôn luyện đề thi Toán vào 10 một cách bài bản, khoa học sẽ giúp học sinh tăng cơ hội đạt điểm cao và đỗ vào trường mong muốn.

Ở bài viết này, HEID sẽ cung cấp cho các em một hệ thống chuyên đề ôn thi Toán vào 10 đầy đủ, từ Đại số đến Hình học, giúp rèn luyện kỹ năng giải bài và củng cố kiến thức nền tảng.

1. Tại sao cần nắm vững lý thuyết Toán khi ôn thi vào lớp 10?

Môn Toán trong kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 không đơn thuần là một bài kiểm tra kỹ năng tính toán mà còn đánh giá khả năng tư duy logic và vận dụng linh hoạt kiến thức của học sinh. Để đạt điểm cao, việc chỉ rèn luyện kỹ năng làm bài là chưa đủ, mà học sinh cần nắm chắc hệ thống lý thuyết quan trọng. Khi hiểu sâu và ghi nhớ chính xác các định lý, công thức và tính chất toán học, học sinh sẽ có nền tảng vững chắc để giải quyết bài toán một cách nhanh chóng và chính xác.

1.1 Tăng tốc độ và độ chính xác khi giải bài tập

Mỗi bài toán đều xoay quanh một hoặc nhiều kiến thức lý thuyết trọng tâm. Nếu học sinh không nắm vững công thức, định nghĩa hoặc quy tắc tính toán, quá trình giải bài sẽ mất nhiều thời gian và dễ dẫn đến sai sót không đáng có.

Ví dụ, với các bài tập liên quan đến căn bậc hai, nếu không hiểu rõ quy tắc rút gọn hoặc khử mẫu, học sinh có thể gặp khó khăn trong việc tìm ra kết quả chính xác. Do đó, việc thành thạo lý thuyết giúp rút ngắn thời gian làm bài và tăng độ chính xác trong từng phép tính.

1.2 Hiểu bản chất vấn đề, nâng cao khả năng tư duy

Việc học thuộc công thức mà không hiểu rõ ý nghĩa của chúng sẽ khiến học sinh bị bối rối khi gặp bài toán biến đổi hoặc nâng cao. Khi nắm vững lý thuyết Toán, học sinh có thể dễ dàng vận dụng kiến thức vào nhiều dạng bài khác nhau, kể cả những bài yêu cầu tư duy cao.

Điều này đặc biệt quan trọng với các dạng bài về phương trình, hệ phương trình hoặc hình học, nơi mà khả năng lập luận logic đóng vai trò then chốt. Học sinh sẽ không chỉ dừng lại ở việc áp dụng công thức đơn thuần mà còn có thể tư duy sáng tạo để tìm ra phương pháp giải tối ưu.

1.3 Tiết kiệm thời gian ôn tập và làm bài thi hiệu quả

Thời gian làm bài thi là yếu tố quan trọng, và những học sinh có nền tảng lý thuyết vững chắc sẽ luôn có lợi thế hơn. Khi đã thuộc lòng các công thức quan trọng như hệ thức lượng trong tam giác vuông hay quy tắc tính toán với căn thức, học sinh sẽ xử lý bài toán nhanh hơn, từ đó có thêm thời gian để kiểm tra lại kết quả, giảm thiểu sai sót.

Bên cạnh đó, việc hiểu rõ bản chất của các công thức giúp học sinh nhớ lâu hơn, hạn chế tình trạng học trước quên sau, từ đó tiết kiệm đáng kể thời gian ôn tập.

1.4 Tự tin đối mặt với các dạng đề thi đa dạng

Đề thi vào lớp 10 thường có sự phân hóa từ mức độ cơ bản đến nâng cao. Nếu nắm chắc lý thuyết, học sinh sẽ không còn cảm thấy bối rối trước những bài toán khó, bởi lẽ chúng đều có nền tảng từ các kiến thức căn bản.

Chính vì vậy, việc hệ thống lại toàn bộ lý thuyết Toán ôn thi vào 10 là vô cùng quan trọng. Nó không chỉ giúp học sinh làm bài nhanh hơn, chính xác hơn mà còn tạo sự tự tin khi bước vào kỳ thi. Khi đã có nền tảng vững chắc, học sinh có thể dễ dàng xử lý các bài toán từ đơn giản đến phức tạp, tối ưu hóa điểm số và tăng cơ hội trúng tuyển vào ngôi trường mơ ước.

2. Hệ thống các chuyên đề ôn thi Toán vào 10

Để đạt điểm cao trong kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10, học sinh cần có lộ trình ôn tập khoa học và tập trung vào các chuyên đề trọng tâm. Đề ôn thi Toán vào 10 thường bao gồm hai phần chính: Đại số và Hình học. Mỗi phần đều có những dạng bài quan trọng, yêu cầu học sinh nắm chắc lý thuyết và vận dụng linh hoạt vào các dạng đề thi thực tế.

Dưới đây là hệ thống các chuyên đề ôn thi quan trọng, giúp học sinh dễ dàng xây dựng kế hoạch ôn tập hiệu quả.

2.1. Chuyên đề Đại số – Nền tảng vững chắc cho bài thi

Đại số chiếm một phần lớn trong đề ôn thi Toán vào 10 với nhiều dạng bài yêu cầu học sinh vận dụng công thức và tư duy logic để tìm ra đáp án nhanh chóng. Hiểu và nắm vững các chuyên đề quan trọng sẽ giúp học sinh tự tin giải quyết các dạng bài từ cơ bản đến nâng cao. Dưới đây là những chuyên đề trọng tâm cần tập trung ôn luyện.

2.1.1. Căn thức bậc hai 

Căn bậc hai và các hằng đẳng thức đáng nhớ là nền tảng của nhiều bài toán trong đề thi vào 10. Việc thuộc lòng và vận dụng linh hoạt sẽ giúp học sinh tiết kiệm thời gian và tránh được những lỗi sai đáng tiếc.

Cho A là 1 biểu thức đại số xác định, ta gọi √A là căn thức bậc hai của A và A được gọi là biểu thức lấy căn hay còn có tên gọi khác là biểu thức dưới dấu căn.

• Điều kiện để một căn thức bậc 2 có nghĩa 

Điều kiện của một biểu thức có căn thức bậc 2 có nghĩa khi vào chỉ khi biểu thức đó lớn hơn hoặc bằng 0.

√A xác định (có nghĩa) ⇔ A ≥ 0

• Một số ví dụ minh họa

• Tìm điều kiện để √3x có nghĩa
  Hướng dẫn giải: Để √3x có nghĩa ⇔ 3x ≥ 0 ⇔ x ≥ 0.
• Tìm điều kiện của √(3 – 7x)
  Hướng dẫn giải: Để √(3 – 7x) ⇔ 3 – 7x ≥ 0 ⇔ x ≤ 3/7.
• Tìm điều kiện của √(2 – 3x)
  Hướng dẫn giải: Để √(2 – 3x) ⇔ 2 – 3x ≥ 0 ⇔ x ≤ 2/3.
• Tìm điều kiện để √(x – 6)
  Hướng dẫn giải: Để √(x – 6) ⇔ x – 6 ≥ 0 ⇔ x ≥ 6.

2.1.2. Hằng đẳng thức

7 hằng đẳng thức đáng nhớ là những công thức quan trọng trong toán học, đặc biệt là ở cấp trung học cơ sở.

Công thức 7 hằng đẳng thức đáng nhớ như sau:

Bình phương một tổng

Với hai số bất kỳ ta luôn có: Bình phương một tổng sẽ bằng bình phương số thứ nhất cộng với hai lần tích của số thứ nhất và số thứ hai, sau đó cộng với bình phương số thứ hai.

( a + b )² = a² + 2ab + b²

Ví dụ: Khai triển các biểu thức sau theo hằng đẳng thức:

• a) ( x + 2 )²
• b) ( 2x + 1 )²

Hướng dẫn:

• ( x + 2 )² = x² + 2.x.2 + 2² = x² + 4x + 4
• ( 2x + 1 )² = ( 2x )² + 2.2x.1 + 1² = 4x² + 4x + 1

Bình phương một hiệu

Với hai số bất kỳ ta luôn có: Bình phương một hiệu sẽ bằng bình phương số thứ nhất trừ đi hai lần tích của số thứ nhất và số thứ hai, sau đó cộng với bình phương số thứ hai.

( a – b )² = a² – 2ab + b²

Ví dụ: Khai triển các biểu thức sau theo hằng đẳng thức:

• ( x – 3 )²
• ( 2x – 1 )²

Hướng dẫn:

• ( x – 3 )² = x² – 2.x.3 + 3² = x² – 6x + 9
• ( 2x – 1 )² = ( 2x )² – 2.2x.1 + 1² = 4x² – 4x + 1

Hiệu hai bình phương

Với hai số bất kỳ ta luôn có hiệu hai bình phương bằng tổng của hai số nhân với hiệu của hai số.

a² – b² = ( a – b )( a + b )

Ví dụ: Khai triển các biểu thức sau theo hằng đẳng thức:

• x² – 16
• x² – 4y²

Hướng dẫn:

• x² – 16 = x² – 4² = ( x – 4 )( x + 4 )
• x² – 4y² = x² – ( 2y )² = ( x – 2y )( x + 2y )

Lập phương một tổng

Lập phương một tổng của hai số bất kỳ sẽ bằng lập phương số thứ nhất cộng với ba lần bình phương số thứ nhất nhân số thứ hai, cộng với ba lần bình phương số thứ hai nhân số thứ nhất sau đó cộng với lập phương số thứ ba.

( a + b )³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Ví dụ: Khai triển biểu thức sau theo hằng đẳng thức: ( x + 2y )³

Hướng dẫn:

( x + 2y )³ = x³ + 3.x².2y + 3.x.( 2y )² + ( 2y )³

= x³ + 6x²y + 12xy² + 8y³

Lập phương một hiệu

Lập phương một hiệu của hai số bất kỳ sẽ bằng lập phương số thứ nhất trừ đi ba lần bình phương số thứ nhất nhân số thứ hai, cộng với ba lần bình phương số thứ hai nhân số thứ nhất sau đó trừ đi lập phương số thứ 3.

( a – b )³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³

Ví dụ: Khai triển biểu thức sau theo hằng đẳng thức: ( x – 2y )³

Hướng dẫn:

( x – 2y )³ = x³ – 3.x².2y + 3.x.( 2y )² – ( 2y )³

= x³ – 6x2y + 12xy² – 8y³

Tổng hai lập phương

Tổng của hai lập phương của hai số bất kỳ sẽ bằng tổng của hai số sau đó nhân với bình phương thiếu của hiệu số thứ nhất và số thứ hai.

a³ + b³ = ( a + b )( a² – ab + b² )

Ví dụ: Khai triển biểu thức sau theo hằng đẳng thức: x³ + 8

Hướng dẫn:

x³ + 8 = x³ + 2³

= ( x + 2 )(x² – x.2 + 2²)

= ( x + 2 )( x² – 2x + 4 )

Hiệu hai lập phương

Hiệu của hai lập phương của hai số bất kỳ sẽ bằng số thứ nhất trừ đi số thứ hai sau đó nhân với bình phương thiếu của tổng số thứ nhất và số thứ hai.

a³ – b³ = ( a – b )( a² + ab + b² )

Ví dụ: Khai triển biểu thức sau theo hằng đẳng thức: x³ – 27

Hướng dẫn:

x³ – 27 = x³ – 3³

= ( x – 3 )(x² + x.3 + 3² )

= ( x – 3 )(x² + 3x + 9 )

2.2. Phương trình bậc nhất và bậc hai một ẩn

Phương trình bậc nhất và phương trình bậc hai là những nội dung quen thuộc trong chương trình Toán THCS và thường xuyên xuất hiện trong đề thi vào 10. Biết cách giải nhanh và chính xác các phương trình này sẽ giúp học sinh làm tốt nhiều dạng bài, đặc biệt là các bài toán thực tế liên quan đến chuyển động, năng suất và số lượng.

2.2.1. Phương trình bậc nhất một ẩn

Phương trình có dạng ax + b = 0, với a và b là hai số đã cho và a ≠ 0, được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.

Ví dụ:

• Phương trình 2x+3=0 là phương trình bậc nhất ẩn x
• Phương trình 2y−4=2 là phương trình bậc nhất ẩn y

Hai quy tắc biến đổi phương trình

• Quy tắc chuyển vế: Trong một phương trình ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu hạng tử đó.
  Ví dụ: Giải phương trình x+3=0
  Giải: Ta có x+3=0 ⇔ x=−3. (chuyển hạng tử + 3 từ vế trái sang vế phải và đổi thành – 3 ta được x=−3)

• Quy tắc nhân với một số: Trong một phương trình, ta có thể nhân cả hai vế với cùng một số khác 0.
  Ví dụ: Giải phương trình x ⁄ 2=−2.
  Giải: Ta có x ⁄ 2=−2 ⇔ 2. x/2 =−2.2 ⇔ x = −4 (nhân cả hai vế với số 2 ta được x = – 4 )

Cách giải phương trình bậc nhất một ẩn
Phương trình có dạng ax + b = 0, với a và b là hai số đã cho và a ≠ 0, được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.

Cách giải:

• Bước 1: Chuyển vế ax = – b.
• Bước 2: Chia hai vế cho a ta được: x = – b/a.
• Bước 3: Kết luận nghiệm: S = { – b/a }.

Ta có thể trình bày ngắn gọn như sau:

• ax + b = 0 ⇔ ax = – b ⇔ x = – b/a.
• Vậy phương trình có tập nghiệm là S = { – b/a }.

Ví dụ: Giải phương trình sau: 2x−3=3.

Cách giải:

• Ta có: 2x−3=3⇔2x=6⇔x=62=3.
• Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S = { 3 }.

Để giải các phương trình đưa được về ax + b = 0 ta thường biến đổi phương trình như sau:

• Bước 1: Quy đồng mẫu hai vế và khử mẫu (nếu có)
• Bước 2: Thực hiện phép tính để bỏ dấu ngoặc và chuyển vế các hạng tử để đưa phương trình về dạng ax = c.
• Bước 3: Tìm x

Chú ý: Quá trình biến đổi phương trình về dạng ax = c có thể dẫn đến trường hợp đặc biệt là hệ số của ẩn bằng 0 nếu:

• 0x = c thì phương trình vô nghiệm S=∅
• 0x = 0 thì phương trình nghiệm đúng với mọi x hay vô số nghiệm S = R.

Ví dụ: Giải phương trình 2x−(3−2x)=3x+1

Cách giải:

• Ta có 2x−(3−2x)=3x+1 ⇔ 2x − 3 + 2x = 3x+1 ⇔ 4x−3x=1+3⇔x=4.
• Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = { 4 }.

2.2.2. Phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương trình bậc nhất hai ẩn x, y là hệ thức có dạng: ax + by = c, trong đó a, b, c là các số đã biết (trong đó a ≠ 0 hoặc b ≠ 0 ).

Trong phương trình ax + by = c, nếu giá trị của vế trái tại x = x₀ và y =y₀ bằng vế phải thì cặp số (x₀; y₀) được gọi là một nghiệm của phương trình.

Chú ý: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy mỗi nghiệm của phương trình ax + by = c được biểu diễn bởi một điểm. Nghiệm (x₀; y₀) được biểu diễn bởi điểm có tọa độ (x₀; y₀) .

Ví dụ: Các phương trình bậc nhất hai ẩn là 2x + y = 1; x – y = 2; ….

Bài tập ví dụ: Tìm hai nghiệm của phương trình x + y = 2 (1)

• Cho y = 0 ⇒ x = 2 → (2; 0) là một nghiệm của phương trình (1).
• Cho y = 1 ⇒ x = 1 → (1; 1) là một nghiệm của phương trình (1).
• ⇒ (2; 0); (1; 1) là hai nghiệm cần tìm của phương trình x + y = 2.

Phương trình bậc nhất và bậc hai là nội dung không thể thiếu trong kỳ thi vào lớp 10. Khi nắm vững phương pháp giải, công thức nghiệm và định lý Vi-ét, học sinh sẽ tự tin chinh phục các bài toán từ cơ bản đến nâng cao, đồng thời ứng dụng tốt vào bài toán thực tế.

2.3. Hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn

Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ phương trình có dạng:

Trong đó:

• a, a’, b, b’ là các số thực cho trước thỏa mãn điều kiện (a² + b² ≠ 0 và a’² + b’² ≠ 0)
• x và y là ẩn
• Nghiệm chung của 2 phương trình (1) và (2) được gọi là nghiệm của hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn.

Phương pháp giải hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn
Để giải được hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn, các em học sinh có thể áp dụng một số phương pháp sau:

Phương pháp thế:

• Sử dụng quy tắc thế để biến đổi hệ phương trình đã cho trở thành một phương trình mới có dạng phương trình chỉ có 1 ẩn
• Giải phương trình mới đã biến đổi để tìm các nghiệm của hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn mà đề bài đã cho

Phương pháp cộng đại số:

• Để làm được phương pháp này, các em học sinh sẽ nhân mối phương trình của hệ với một thừa số phụ sao cho giá trị tuyệt đối của hệ số của một trong 2 ẩn của các phương trình trong hệ bằng nhau.
• Sử dụng quy tắc cộng đại số thông thường để tạo thành một hệ mới trong đó có một phương trình là phương trình 1 ẩn.
• Tìm nghiệm của phương trình 1 ẩn và sử dụng phương pháp thế để tìm ra tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất 1 ẩn mà đề bài đã cho.

Bài tập ví dụ: Giải hệ phương trình sau

Ta nhân phương trình (2) với 5. Sau đó sử dụng phương pháp cộng đại số để triệt tiêu ẩn y, ta ra được phương trình mới chỉ có 1 ẩn x rồi tiến hành giải phương trình để tìm ra đáp án.

Tiến hành giải phương trình chỉ có nghiệm x là:

• 13x = – 39
• suy ra x = -39/13 = -3.
• Thế x = – 3 vào phương trình (1) ta có phương trình sau
• 3.(-3) + 5y = 1
• ⇒ 5y = 10 ⇒ y = 2.
• Vậy nghiệm của hệ phương trình bậc nhất 1 ẩn là (x, y) = (-3, 2).
• Đáp án: (-3, 2)

Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn không chỉ giúp giải quyết các bài toán số học mà còn ứng dụng rộng rãi trong bài toán thực tế như tính tuổi, năng suất, chuyển động. Nếu rèn luyện nhuần nhuyễn phương pháp thế và cộng đại số, học sinh sẽ dễ dàng xử lý các bài toán phức tạp hơn trong đề thi.

2.4. Hàm số và đồ thị

Hàm số và đồ thị không chỉ là nội dung trọng tâm trong đề thi mà còn là nền tảng quan trọng khi học Toán ở bậc THPT. Hiểu rõ cách vẽ đồ thị, xác định giao điểm và ứng dụng của hàm số sẽ giúp học sinh xử lý các bài toán liên quan một cách dễ dàng, đặc biệt là các bài toán liên quan đến sự biến thiên và tương giao của hai đồ thị.

Cho ∅ ≠ D ⊂ R

• Nếu với mỗi x ∈ D, ta xác định được y duy nhất (y ∈ R) thì ta có một hàm số.
• x là biến số, y là hàm số của x
• D là tập xác định

T = {y|x ∈ D} là tập giá trị của hàm số

Kí hiệu hàm số: y = ƒ(x), x ∈ D

Bài tập ví dụ: Cho hai hàm số y = 2x + 1 (1) và y = √x−2 (2).

a) Nêu biểu thức xác định mỗi hàm số trên.

• Biểu thức xác định hàm số (1) là 2x + 1.
• Biểu thức xác định hàm số (2) là √x−2

b) Tìm x sao cho mỗi biểu thức trên có nghĩa.

• Biểu thức 2x + 1 có nghĩa với mọi x ∈ R
• Biểu thức √x−2 có nghĩa khi x – 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2.

Hàm số và đồ thị giúp học sinh trực quan hóa dữ kiện toán học và tìm ra lời giải nhanh chóng. Khi nắm vững các dạng hàm số và phương pháp vẽ đồ thị, học sinh sẽ không còn bối rối với các bài toán tìm giao điểm, xác định miền nghiệm hay bài toán thực tế liên quan đến hàm số.

2.5. Bất đẳng thức và bất phương trình

2.5.1. Bất đẳng thức

Bất đẳng thức và bất phương trình là dạng bài kiểm tra khả năng tư duy và kỹ năng biến đổi đại số của học sinh. Trong đề thi vào 10, học sinh cần biết cách giải bất phương trình, biểu diễn nghiệm trên trục số và áp dụng vào các bài toán thực tế.

Các mệnh đề dạng “a < b” hoặc “a > b” được gọi là bất đẳng thức.

• Nếu mệnh đề “a < b => c < d” đúng thì ta nói bất đẳng thức c < d là bất đẳng thức hệ quả của bất đẳng thức a < b và cũng viết là a< b => c < d.
• Nếu bất đẳng thức a < b là hệ quả của bất đẳng thức c < d và ngược lại thì ta nói hai bất đẳng thức tương đương với nhau và viết là a < b <=> c < d.

Như vậy để chứng minh bất đẳng thức a < b ta chỉ cần chứng minh a – b < 0. Tổng quát hơn, khi so sánh hai số, hai biểu thức hoặc chứng minh một bất đẳng thức, ta có thể sử dụng các tính chất của bất đẳng thức được tóm tắt trong bảng sau:

Bất đẳng thức Cô-si

Định lí: Trung bình nhân của hai số không âm nhỏ hơn hoặc bằng trung bình cộng của chúng

√ab ≤ , ∀a, b ≥ 0 (1)
Đẳng thức √ab =  xảy ra khi và chỉ khi a = b.

• Tổng của một số dương với nghịch đảo của nó lớn hơn hoặc bằng 2.
  a +  ≥ 2, ∀a > 0.
• Nếu x, y cùng dương và có tổng không đổi thì tích xy lớn nhất khi và chỉ khi x = y.
• Nếu x, y cùng dương và có tích không đổi thì tổng x + y nhỏ nhất khi và chỉ khi x = y.

Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

2.5.2. Bất phương trình

Bất phương trình ẩn x là mệnh đề chứa biến có dạng

f(x) < g(x) (f(x) ≤ g(x)) (1) trong đó f(x) và g(x) là những biểu thức của x.

• Ta gọi f(x) và g(x) lần lượt là vế trái của bất phương trình (1). Số thực xo sao cho f(xo) < g(xo), (f(xo) ≤ g(xo)) là mệnh đề đúng được gọi là một nghiệm của bất phương trình (1).
• Giải bất phương trình là tìm tập nghiệm của nó, khi tập nghiệm rỗng thì ta nói bất phương trình vô nghiệm.

Chú ý: Bất phương trình (1) cũng có thể viết lại dưới dạng sau: g(x) >f(x) (g(x) ≥ f(x)).

Điều kiện của một bất phương trình

Tương tự đối với phương trình, ta gọi các điều kiện của ẩn số x để f(x) và g(x) có nghĩa là điều kiện xác định (hay gọi tắt là điều kiện) của bất phương trình (1).

Bất phương trình chứa tham số

Trong một bất phương trình, ngoài các chữ đóng vai trò ẩn số còn có thể có các chữ khác được xem như những hằng số và được gọi là tham số. Giải và biện luận bất phương trình chứa tham số là xét xem với các giá trị nào của tham số bất phương trình vô nghiệm, bất phương trình có nghiệm và tìm các nghiệm đó.

Bất đẳng thức và bất phương trình yêu cầu sự cẩn trọng trong từng bước biến đổi. Để tránh mất điểm đáng tiếc, học sinh cần nhớ các quy tắc khi nhân chia hai vế của bất phương trình và rèn luyện cách biểu diễn nghiệm trên trục số một cách chính xác.

2.6. Chuyên đề Hình học – Rèn luyện tư duy trực quan

Hình học là phần thi giúp đánh giá khả năng suy luận và tư duy không gian của học sinh. Để làm tốt các bài toán hình học trong đề thi vào 10, học sinh cần hiểu rõ lý thuyết, ghi nhớ các định lý quan trọng và rèn luyện kỹ năng vẽ hình chính xác. Dưới đây là những chuyên đề trọng tâm trong phần hình học.

2.6.1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Hệ thức lượng trong tam giác vuông là một phần kiến thức quan trọng giúp học sinh giải quyết nhanh chóng nhiều dạng bài liên quan đến đường cao, góc, cạnh và đường tròn. Việc thành thạo các công thức tính độ dài cạnh, diện tích tam giác và mối liên hệ giữa các yếu tố trong tam giác vuông sẽ giúp học sinh tự tin hơn khi đối mặt với các bài toán hình học phức tạp.

Hệ thức liên quan về cạnh và đường cao

Trong đề bài ta có một hình tam giác vuông ABC và vuông tại A cùng với AH là đường cao của tam giác này, khi đó ta có các hệ thức mà các bạn học sinh lớp 9 cần nhớ liên quan sau đây:

Các hệ thức liên quan đến hệ thức lượng trong tam giác vuông:

• AB² = BH * BC
• AC² = CH * BC
• AH² = BH * CH
• AB * AC = AH * BC
• 1/AH² = 1/AB² * 1/AC²

=> Cạnh huyền trong tam giác bình phương bằng tổng bình phương của hai cạnh góc vuông trong tam giác đó.

Tỉ số lượng giác của góc nhọn

	Sinα = Đối / Huyền
	Cosα = Kề / Huyền
	Tanα = Đối / Kề
	Cotα = Kề / Đối

Định lý

Nếu 2 góc phụ nhau thì sin góc này bằng cos góc kia, tan góc này bằng cot góc kia.

Cho α, β là 2 góc nhọn

Nếu α < β thì:

• sinα < sinβ
• cosα > cosβ
• tanα < tanβ
• cotα > cotβ
• sinα < tanα, cosα < cotα

Hệ thức cơ bản:

Học sinh cần luyện tập nhiều dạng bài từ cơ bản đến nâng cao để vận dụng linh hoạt trong đề thi. Khi đã nắm chắc hệ thức lượng, việc xử lý các bài toán về tam giác, đường tròn hay phương pháp tọa độ cũng trở nên dễ dàng hơn, giúp học sinh có lợi thế lớn trong việc chinh phục điểm cao môn Toán.

2.6.2. Đường tròn và các góc trong đường tròn

Đường tròn là một chuyên đề quan trọng trong hình học lớp 9 và thường chiếm nhiều điểm trong đề thi vào 10. Các bài toán về tiếp tuyến, dây cung, góc nội tiếp, góc ở tâm yêu cầu học sinh phải có khả năng suy luận chặt chẽ và vẽ hình chính xác. Nắm chắc các định lý và tính chất của đường tròn sẽ giúp học sinh giải quyết nhanh chóng các bài toán dạng này.

Đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp

Định nghĩa:

• Đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của một đa giác được gọi là đường tròn ngoại tiếp đa giác và đa giác này gọi là nội tiếp đường tròn.
• Đường tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh của một đa giác được gọi là đường tròn  nội tiếp đa giác và đa giác được gọi là ngoại tiếp đường tròn.

Định lí:

• Bất kì đa giác đều nào cũng có một đường tròn ngoại tiếp và một đường tròn nội tiếp
• Tâm của một đường tròn ngoại tiếp trùng với tâm đường tròn nội tiếp và được gọi là tâm của đa giác đều.

Công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp đa giác đều. Đa giác đều 𝑛 cạnh có độ dài mỗi cạnh là 𝑎,𝑅 là bán kính đường tròn ngoại tiếp và 𝑟 là bán kính đường tròn nội tiếp đa giác. Ta có:

Liên hệ giữa cung và dây 

Định lý 1: Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau:

• Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau.
• Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau.

Ví dụ:

Định lý 2: Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau:

• Cung lớn hơn căng dây lớn hơn.
• Dây lớn hơn căng cung lớn hơn.

Công thức tính độ dài đường tròn, độ dài cung tròn

Công thức tính độ dài đường tròn (chu vi đường tròn)

Cho  đường tròn (𝑂;𝑅), độ dài (C) của đường tròn ( hay chu vi của đường tròn) là

Công thức tính độ dài cung tròn

Trên đường tròn bán kính 𝑅, độ dài 𝑙 của một cung 𝑛∘ được tính theo công thức

Hình học đường tròn không chỉ xuất hiện trong kỳ thi vào 10 mà còn là nền tảng quan trọng trong toán học nâng cao. Việc hiểu rõ các tính chất về góc, tiếp tuyến, dây cung sẽ giúp học sinh giải quyết bài toán hình học một cách nhanh chóng và chính xác, đặc biệt là trong các bài chứng minh và tính toán hình học.

2.6.3. Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Chuyên đề này giúp học sinh nắm vững khái niệm cơ bản, vận dụng các công cụ phân tích số học và hình học, từ đó tăng cường khả năng giải quyết các bài toán phức tạp trong đề thi vào 10. Việc hiểu và vận dụng thành thạo phương pháp tọa độ sẽ là lợi thế lớn giúp học sinh tự tin chinh phục các dạng bài thi đòi hỏi tư duy sáng tạo và phân tích sâu.

Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Vectơ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ nếu  ≠ và giá của song song hoặc trùng với ∆. Một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương.

Phương trình tham số của đường thẳng
Đường thẳng ∆ đi qua điểm M0(x0, y0) và có VTCP = (a; b)
=> phương trình tham số của đường thẳng ∆ có dạng

Nếu đường thẳng ∆ có VTCP  = (a; b) thì có hệ số góc k =

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng

Vectơ được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ nếu ≠ và vuông góc với vectơ chỉ phương của ∆.

Một đường thẳng có vô số vectơ pháp tuyến.

Phương trình tổng quát của đường thẳng

Đường thẳng ∆ đi qua điểm M0(x0, y0) và có VTPT = (A; B)

=> Phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ có dạng

A(x – xο) + B(y – y0) = 0 hay Ax + By + C = 0 với C = –Ax0 – By0.

• Nếu đường thẳng ∆ có VTPT = (A; B) thì có hệ số góc k =
• Nếu A, B, C đều khác 0 thì ta có thể đưa phương trình tổng quát về dạng
  

Phương trình này được gọi là phương trình đường thẳng theo đoạn chắn, đường thẳng này cắt Ox và Oy lần lượt tại M(a0; 0) và N(0; b0).

Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Xét hai đường thẳng có phương trình tổng quát là

∆1: a1x + b1y + c1 = 0 và ∆2: a2x + b2y + c2 = 0

Tọa độ giao điểm của ∆1 và ∆2 là nghiệm của hệ phương trình:

• Nếu hệ có một nghiệm (x0; y0) thì ∆1 cắt ∆2 tại điểm M0(x0, y0).
• Nếu hệ có vô số nghiệm thì ∆1 trùng với ∆2.
• Nếu hệ vô nghiệm thì ∆1 và ∆2 không có điểm chung, hay ∆1 song song với ∆2

Xét tỉ số

Góc giữa hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng

• ∆1: a1x + b1y + c1 = 0 có VTPT = (a1; b1);
• ∆2: a2x + b2y + c2 = 0 có VTPT = (a2; b2);

Gọi α là góc tạo bởi giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2

Khi đó

Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Khoảng cách từ M0(x0, y0) đến đường thẳng ∆: ax + by + c = 0 được tính theo công thức

Cho hai đường thẳng ∆1: a1x + b1y + c1 = 0 và ∆2: a2x + b2y + c2 = 0 cắt nhau thì phương trình hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng trên là:

Chuyên đề Hình học không chỉ là một nhánh kiến thức cốt lõi trong chương trình toán học mà còn là chìa khóa giúp học sinh rèn luyện tư duy logic và khả năng phân tích hình học. Qua việc nghiên cứu các định lý, công thức và ứng dụng trong bài tập thực tiễn, học sinh được phát triển toàn diện cả về lý thuyết lẫn kỹ năng giải quyết vấn đề.

Với sự chuẩn bị bài bản, luyện tập thường xuyên và tinh thần cầu thị, mỗi học sinh sẽ tìm được phương pháp học tập phù hợp, góp phần khẳng định năng lực của bản thân trong kỳ thi cũng như trong học tập sau này.

3. Tổng kết

Bài viết đã cung cấp cho các bạn học sinh tuyển tập đề ôn thi toán vào 10 đa dạng và chất lượng, giúp củng cố kiến thức đại số và hình học một cách toàn diện. Đây không chỉ là công cụ luyện tập hiệu quả mà còn là nguồn cảm hứng để các em tự tin bước vào kỳ thi quan trọng. Nếu bạn đang tìm kiếm tài liệu luyện tập chuyên sâu, hãy khám phá bộ sách “Ôn thi vào lớp 10 môn Toán” của NXB Giáo dục Việt Nam – người bạn đồng hành tin cậy trên hành trình chinh phục điểm 10 môn toán.